Відсотки в шкільному курсі математики

Математика, давно стала мовою  науки і техніки, все ширше проникає в 

повсякденне життя , все більше входить в традиційно далекі від  неї  області.

 Інтенсивна математизація різноманітних областей людської  діяльності 

особливо посилилась з впровадженням сучасних інформаційних технологій,

 що вимагають математичної грамотності людини практично на кожному 

 робочому  місці .  Це передбачає і  конкретні  математические знання,

 і певний стиль мислення, формований математикою. 

Відсотки - одне з математичних понять, які часто зустрічаються у

 повсякденному житті. Розуміння відсотків і вміння виконувати  відсоткові 

розрахунки в даний час необхідне кожній людині, це сприяє  її «входженню»

 в сучасне  інформаційно-економічне середовище і, в кінцевому рахунку, 

полегшує соціалізацію.

Актуальність вивчення теми «Відсотки»

Тема «відсотків» є універсальною, в тому сенсі, що вона зв’язує між собою багато точних та природничих наук, побутові та виробничі сфери життя людини. Знання відсотків використовуються в багатьох професіях, тому часто люди у житті зіштовхуються з відсотками: у школі, на роботі, при оформленні кредитів. Термін «відсоток» учні можуть зустріти не лише під час розв’язування математичних задач. Нині  відсотки супроводжують кожну сферу людської діяльності. Вони широко використовуються в статистиці, техніці, соціології, економіці, хімії, фізиці, а також у метеорології, сільському господарстві, медицині, виробництві тощо. Наприклад, за допомогою відсотків позначають можливі допуски браку  під час виготовлення продукції, коефіцієнти корисної дії механізмів, витрати енергії, затрати на експлуатацію, амортизацію, склад в суспільстві різних верств населення, вологість повітря, схожість насіння, вміст металу в руді, жирність продуктів, вміст цукру в сировині, кількість вітамінів у фруктах та овочах і т. д. Отже, ця тема має широке практичне застосування,  і її вивчення вимагає значної уваги.

Історично склалися два аспекти розвитку математичної науки: теоретична, яка досліджує та розвиває нові грані математики, та практична, що покликана розв’язувати задачі прикладного характеру. Саме прикладний аспект вирізняє тему «Відсотки», яку традиційно вивчають у шкільному курсі математики основної школи. Задачі на відсотки обов’язково входять до завдань державної підсумкової атестації не тільки 9-го, але й 11-го класів, вони включені й до програми ЗНО з математики.

Особливості вивчення теми «Відсотки» в шкільному курсі математики

 Практика показує, що серед задач, яких боїться значна частина учнів,  випускників шкіл та навіть студентів-першокурсників спеціальностей, пов’язаних з математикою, чільне місце займають задачі на відсотки. За існуючими програмами розв’язування задач на відсотки передбачено в основному в 5-6  класах, але в силу вікових особливостей школярів не може бути повністю освоєна, а в наступних класах даній  темі відведено незначну частину навчального часу. Фактично задачі на відсотки епізодично зустрічається на уроках алгебри та геометрії у 7—9 класах . Тому дуже важливо з самого початку сформувати сталі, тверді навички розв'язування задач на відсотки, а також, якщо клас готовий до цього, похідних від них задач: задачі на суміші, сплави, відсотковий вміст (що передбачають і складання рівнянь у вигляді пропорцій).

 Розглядаючи це поняття, учні знайомляться з трьома основними задачами на відсотки: 1) знаходження відсотків від даного числа; 2) знаходження числа за його відсотками; 3) знаходження відсоткового відношення двох чисел. Проте існує багато задач із застосуванням відсотків, котрі не можна віднести до жодного з перерахованих типів.

Перше знайомство з відсотками починається у 5 класі, поширюється  – у 6 класі.  Надалі в курсі математики 7 - 9 класу ці задачі зустрічаються в малій кількості і  їх місце тільки в межах завдань на повторення і завдань підвищеної складності .

Вивчення теми „Відсотки”  у 5 класі відбувається в процесі вивчення теми «Дробові числа і дії з ними». Тут вводиться поняття відсотків і розглядаються задачі на знаходження відсотків від числа та числа за його відсотками. В  6 класі відсотки вивчають у темі „Відношення і пропорції” . Тут розглядають  відсоткове відношення двох чисел, зміну величини у відсотках та відсоткові розрахунки. Раніше у дев’ятому класі  задачі на відсотки розглядали в темі „Складні відсотки”. Проте в оновленій програмі (2017р)  ця тема вилучена з курсу алгебри 9кл.Але ж  вміння працювати з відсотками є необхідним для кожної людини. Тому обов’язково задачі на відсотки якомога частіше розглядати  на уроках алгебри і геометрії.

У 5 класі головною метою вивчення теми «Відсотки» є формування розуміння відсотка, вміння знаходженням відсотків від числа і числа за його відсотками. З самого початку вивчення теми доцільно ознайомити учнів з історією виникнення відсотків. Відсотки та способи їх обчислення мають дуже давню історію. Ідея подання частин цілого в одних і тих самих частках застосовувалося ще в Стародавньому Вавилоні. Досить довго під відсотком розуміли прибутки і втрату на кожну сотню  грошової одиниці. Застосовували їх лише для грошових розрахунків. Згодом відсотки почали застосовувати в господарських розрахунках ,на промислових підприємствах. У стародавньому Римі були поширені грошові розрахунки з відсотками. Римляни називали відсотками гроші, які платив боржник кредитору за кожну сотню. Римський сенат установив максимально доступний відсоток, що стягували з боржника. У Європі за часів середньовіччя існували спеціальні таблиці обчислення відсотків у конторах та підприємствах, які тримали в таємниці. Уперше ці таблиці опублікував  1584 року  Симон Стевін. Фламандський учений, військовий інженер, він першим у Європі відкрив десяткові дроби, опублікував таблицю для обчислення складних відсотків, яку використовують в торгівельно - фінансових операціях.

Для успішного застосування  відсотків до розв'язування задач важ­ливо попередньо сформувати навички перетворення десяткових, звичайних дробів і цілих чисел на відсотки  та навпаки. Систему вправ при цьому слід будувати відповідно до дидактичного принципу «від простого до складного». Практика свідчить, що починати потріб­но з десяткових дробів, які мають два десяткових знаки (наприклад, 0,64 = 64 %), потім три і більшу кількість (0,728 = 72,8 %) і наприкін­ці переходити до вправ з одним десятковим знаком (0,8 = 80 %). Для того щоб в останньому прикладі уникнути помилок на зразок 0,8 = 8 %, доцільно у перших вправах спочатку перетворювати десяті частини на соті: 0,8 = 0,80 = 80 %. Завершити цей набір вправ потрібно прикла­дами на запис у вигляді відсотків десяткових дробів, що мають цілу частину, і цілих чисел. Слід звернути увагу учнів, які зазнають труд­нощів у перетворенні цілих чисел, на те, що ціле число можна уявля­ти як десятковий дріб, який у дробовій частині має безліч нулів. На­приклад, 2 = 2,0000... = 200 %; 42 = 42,000... = 4200 %.

Усі випадки доцільно узагальнити, запропонувавши таке правило-орієнтир: щоб перетворити десятковий дріб на відсотки, потрібно перенести кому на два розряди вправо і після нього поставити знак %.

Значні труднощі для учнів становлять вправи з перетворення відсотків на дроби, оскільки дія ділення сприймається важче, ніж дія множення. Зокрема, учні припускаються більше помилок, якщо кіль­кість відсотків виражено дробовим числом. Наприклад, 17,3 % = = 0,173; 8,2 % = 0,082. Розв'язування такого набору вправ також до­цільно завершити формулюванням правила.

Оскільки розв'язування задач на відсоткове відношення ґрунтуєть­ся на перетворенні звичайних дробів на відсотки, слід спочатку сфор­мувати навички такого перетворення. В цьому разі можна відразу да­ти учням правило (а потім закріпити його системою вправ): щоб перетворити звичайний дріб на відсотки, потрібно спочатку перетворити звичайний дріб на десятковий, а потім десятковий - на відсотки. Якщо звичайний дріб не перетворюється на скін­ченний десятковий, слід виконати округлення з потрібною точ­ністю.

Відсоткові розрахунки грунтуються здебільшого на таких найпрос­тіших задачах на відсотки: 1) знаходження відсотків даного числа; 2) знаходження числа за даним числом його відсотків; 3) знахо­дження відсоткового  відношення двох чисел.

Кожну з цих задач можна розв'язати кількома способами: 1) зведен­ням до одиниці; 2) зведенням до дробів; 3) способом пропорцій; 4) за допомогою рівнянь; 5) за формулою.

Добре, якщо учні можуть розв'язати задачу на відсотки (як і будь-яку іншу) різними способами. Проте ознайомлення учнів з будь-яким способом залежить від того, чи засвоїли вони потрібні теоретичні відомо­сті і чи вміють виконувати ті складові операції , які становлять структуру способу розв'язування. Тому найкращим методичним варіан­том навчання учнів розв'язування задач на відсотки є поступове озна­йомлення з різними способами розв'язування того самого виду задач у процесі вивчення шкільного курсу математики. У 6 класі під час вивчення множення звичайних дробів після того, як учні навчились знаходити дріб від числа, задачу про знаходження відсотків  від числа розв'язують знову: спочатку способом зведення до одиниці, а потім знаходженням дробу від числа.

Вивчення дії ділення дробів супроводжується ознайомленням уч­нів із способом знаходження числа за його дробом діленням відомого числа на даний дріб. Після цього розглядається задача на знаходжен­ня числа за відомим числом його відсотків. Хоча в підручнику математики для 5 класу (Істер) розв’язувати ці задачі автор пропонує двома способами: шляхом зведення до одиниці і відповідно множенням , або діленням на відсотки записані дробом, причому, другий спосіб нічим не обґрунтований. Вважаю, що розв’язувати задачі перших двох типів другим способом у 5 класі є недоцільним.

Природним є ознайомлення учнів із задачею про відсоткове відношення чисел при введенні поняття відношення, а розв'язування всіх трьох відомих основних задач на відсотки за допо­могою пропорцій слід навести під час вивчення пропорцій. На жаль, у підручниках цього не зроблено. В підручнику математики 6 класу цього ж автора розв’язування задач на відсотки за допомогою пропорцій взагалі не розглядається, хоча цей спосіб учні засвоюють найкраще. 

При подальшому вивченні курсів хімії учням доведеться використовувати пропорції при розв'язуванні задач на відсотки. З-поміж задач, які розв'язують методом рівнянь в алгебрі, мають бути і задачі на відсотки. Запроваджуючи поняття буквеного виразу і формули на перших уроках алгебри в 7 класі, до­цільно розглянути формули відсотків  що забезпечить єдиний підхід і усвідомлення зв'язку між трьома основними задачами на відсотки.

Практика свідчить, що складніше для учнів визначити вид задачі після того, як вивчено всі три види і починається розв'язування різ­них видів задач на відсотки. Потрібно звернути увагу учнів на те, що в усіх трьох основних задачах на відсотки завжди дві величини за­дано, а третю (невідому) слід визначити (числа а, b і р %). Однак характер залежності між ними в кожному виді задач різний. Саме тут стане в пригоді використання пропорції. Для прикладу розглянемо кілька задач кожного виду.

Задача 1. Зі свіжих слив виходить 21% сушених. Скільки сушених слив можна отримати з 80 кг свіжих?

Розв’язання

 Нехай з 80 кг свіжих слив можна отримати х кг сушених. Свіжі сливи становлять 100%, а сушені — 21%. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

80 кг — 100%;

х кг — 21%.

Яка залежність між масою слив та числом відсотків, що становить ця маса від маси свіжих слив?

Маса слив прямо пропорційна кількості відсотків, що становить ця маса від маси свіжих слив, тому:

80 : х = 100 : 21;  х = (80 *21) : 100 = 16,8(кг)

Відповідь. 16,8 кг

Задача 2.  Коли з цистерни відлили 4,5т бензину, у ній залишилось 85% початкової маси бензину. Скільки тонн бензину було в цистерні спочатку?

Розв’язання

Початкова маса бензину становить 100%. Тоді бензин, який відлили становить 100% – 85% = 15%. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

4,5 т бензину   – 15 %;

х т    бензину    – 100 %.

Складемо пропорцію :

4,5: х =15 : 100 ;   х = ( 4,5 *100) : 15= 25,5(т).

Відповідь. 25,5 т.

Задача 3. Цукрова тростина при переробці на цукор витрачає 91% своєї початкової маси. Скільки треба взяти цукрової тростини, щоб одержати 1,8 т цукру?

Розв’язання . Нехай, початкова маса тростини 100%, тоді маса виробленого з неї цукру становить  100% – 91% = 9%. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

1,8 т  цукру    – 9 %;

х т  тростини    – 100 %.

Складемо пропорцію :

1,8 : х =  9 : 100  ; х =( 1,8 *100) : 9 = 20(т).

Відповідь. 20 т.

Задача 4.  У воді розчинили 180г солі і одержали 12% - ий розчин солі. Скільки грамів води використали для приготування розчину?

Розв’язання

Маса утвореного розчину становить 100%, тоді маса води у ньому 100% – 12% = 88%.  Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

180г солі  – 12 %;

х г води    – 88 %.

Складемо пропорцію :

180 : х  =12 : 88  ;  х = (180 * 88): 12    = 1320(г).

Відповідь. 1320 г.

Задача 5.  В школі  135 учнів  серед яких 27 – діти з сусідніх сіл. Скільки відсотків учнів школи не місцеві?

Розв’язання

Кількість всіх учнів школи становить 100%,  а учні з інших сіл становлять

 х  % . Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

135 учнів  – 100 %;

27  учнів   –  х  %

Складемо пропорцію :

135 : 27 = 100 : х  ;  х = (27 * 100) : 135 = 20(%).

Відповідь. 20%

Задача 6.  Фермер минулого року зібрав у середньому по 30 ц зернових з 1га, а в цьому році – по 32 ц. На скільки відсотків зросла урожайність зернових у цьому році порівняно з минулим роком?

Розв’язання

Спочатку знайдемо на скільки центнерів більше зернових зібрав фермер у цьому році: 32 – 30 = 2(ц).  Обчислимо скільки відсотків становить знайдена різниця від урожаю минулого року.  Урожайність минулого року становить 100%, а 2 ц – х %. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

30 ц –100%;

2 ц – х%.

Складемо пропорцію :  30 : 2  =100 : х  ;    х  =  6,67(%).

Відповідь.   6,67%

Як бачимо розв’язувати задачі на відсотки за допомогою пропорцій досить просто. Цей спосіб не викликатиме труднощів  і у дітей з середнім рівнем навчальних досягнень, оскільки він не вимагає встановлення того, до якого з трьох основних видів  належить запропонована задача, більше того, цим способом можна розв’язувати задачі і на знаходження зміни величини у відсотках.

Якщо учні не розв'язуватимуть задачі на відсотки (також і склад­ні) у курсі алгебри, геометрії, алгебри та початків аналізу, то набуті в 5 - 6 класах навички й уміння буде втрачено. Саме цим значною мірою пояснюється безпорадність старшокласників у розв'язуванні задач, пов'язаних із відсотками. Під час підсумкового повторення курсу алгебри в 9 класі та курсу алгебри і початків аналізу в 11 класі потрібно повторити, систематизувати и узагальнити способи розв'язування основ­них і типових складніших задач на відсотки, які мають міжпредметний характер, використовуються на виробництві, у ринковій економіці, ста­тистиці.

А старшокласникам при підготовці до  ЗНО, необхідно поглибити і розширити свої знання з математики. У шкільному курсі математики в більшості випадків ми розглядаємо  задачі, які розв’язуються  з використанням рівнянь і систем рівнянь. І саме тут доцільно розглянути задачі  економічного характеру, задачі на  суміші і сплави, де використовуються поняття концентрації розчину або відсоткового вмісту деякого металу у сплаві. Задачі такого типу допомагають підвищити рівень математичного і логічного мислення, підготуватися до іспиту, повніше розвивати творчі здібності, а також отримати первинні навики дослідницької діяльності.

Приклади задач для підсумкового повторення курсу алгебри у  9 класі

Задача 1. Після випаровування із 600 г 10%-ого розчину солі залишилося 400 г розчину. Знайдіть у відсотках вміст солі в одержаному після випаровування розчині.

Розв’язання

1)    600  0,1 = 60 (г) – маса солі у початковому розчині, вона не змінюється, оскільки сіль не випаровується;

2)    60 : 400  100 = 15(%) – становить сіль у розчині після випаровування.

Відповідь. 15%

Задача 2. З молока виходить 25% вершків, а з вершків – 20% масла. Скільки потрібно молока, щоб одержати 10 кг масла?

Розв’язання

І спосіб

1)    10 : 0,2= 50 (кг) - вершків потрібно , щоб отримати 10 кг масла;

2)    50 : 0,25 = 200 (кг) - молока потрібно , щоб отримати 50 кг вершків.
ІІ спосіб.

Нехай треба взяти х кг молока, то з нього отримають (0,25х)кг вершків, а з вершків (0,2  кг = (0,05х)кг масла. Маємо рівняння: 0,05х = 10.

Звідки  х = 200.

Відповідь.  200 кг .

Задача 3. Латунь – сплав 60% міді і 40% цинку. Скільки міді і цинку треба сплавити, щоб вийшло 500 т латуні?

Розв’язання

І спосіб.

1)    500  т  латуні – 100%;

         х  т  міді     – 60% .

         500 : х = 100 : 60;   х = 300 (кг) міді;

2)    500 – 300 = 200(г) – цинку.

 ІІ спосіб

Оскільки , 60% : 40% = 3 : 2 , то міді і цинку треба взяти відповідно 3 і 2 частини. 2 + 3 = 5(ч.).   500 : 5 = 100(г) – маса однієї частини. Тоді міді треба взяти 3* 100 =  300(т) , а цинку – 2 *100 = 200(т)

Відповідь. 300 т, 200т

Задача 4. Сплав міді зі сріблом містить 40% міді, причому у сплаві срібла на 200 г більше, ніж міді. Знайдіть  масу сплаву.

Розв’язання

Якщо у сплаві 40% міді , то срібла у сплаві  60%, це на 20 % більше ніж міді. Тобто 200 г  становить 20 % маси сплаву.  

200 : 0, 2 = 1000 (г)

Відповідь.1000 г.

Задача 5. Ринкова ціна картоплі спочатку зросла на 20%, а потім знизилась на 20 %  від нової ціни. Як змінилась ціна картоплі порівняно з початковою?

 Розв’язання

Нехай , початкова ціна картоплі х грн.

1)    х+ 0,2х  = 1,2х (грн.)– ціна картоплі після підвищення;

2)    1,2х – 0,2 1,2х = 0,96х(грн.) – ціна картоплі після зниження;

3)    х – 0,96х = 0,04х.

Отже , ціна картоплі зменшилась на 4%.

Відповідь: зменшилась на 4%.

Задача 6. Вартість товару була підвищена на 25%. На скільки відсотків необхідно зменшити нову вартість товару, щоб одержати початкову вартість товару?

Розв’язання

І спосіб

Нехай , початкова ціна товару х грн., то після підвищення  на 25% вона становить 1, 25х грн..Знайдемо скільки відсотків нової ціни становить початкова ціна.

     1, 25х грн.  –100%;

              х грн –  у %.

Складемо пропорцію :1,25х : х  =100 : у  ;   у = 80(%).

100% – 80% = 20%.

ІІ спосіб

Оскільки , неважливо, якою була  конкретна початкова ціна товару, то нехай  вона дорівнювала 100грн. Тоді нова ціна товару 125грн. 

125 грн – 100 грн = 25 грн. 

25 грн становить   , або 20% від 125 грн.

Відповідь: на 20%.

Задача 7.  Три подружки Світланка ,Маринка та Оксанка збирали волошки. Відомо , що Маринка зібрала 50%  від кількості волошок ,зібраних Світланкою, а Оксанка зібрала 40% від кількості волошок ,зібраних Маринкою . На скільки відсотків Оксанка зібрала менше волошок , ніж Світланка.

Розв’язання

І спосіб

Світланка – х волошок;

Маринка  – 50% від х волошок, тобто 0,5х волошок;

Оксанка  – 40% від 0,5х волошок, тобто 0,4  0,5х = 0,2х волошок;

х – 0,2х = 0,8х .

Отже, Оксанка зібрала на  0, 8х або на 80% волошок менше ніж Світланка.

ІІ спосіб

Оскільки , неважливо, якою була  конкретна кількісті волошок ,зібраних Світланкою, то, нехай , вона дорівнює 100. Тоді Маринка зібрала половину цієї кількості , тобто 50 волошок. Оксанка зібрала 40% від  50 волошок, тобто 0,4  50 =20 волошок. 100 – 20 = 80 – це 80% від100.

Відповідь: на 80%.

Задача 8. Дід Макар вирішив продати своїх телят. У перший тиждень їх ніхто не купив, і довелося знизити ціну на 25%. Через тиждень Макар знизив ціну ще на 20%,  і тільки тоді телят купив Грицько за 720грн. Якою була початкова ціна телят?

Розв’язання

І спосіб

1)    Остаточна ціна 720грн – це 80% від попередньої ціни, 720 : 0,8 = 900(грн.) – ціна перед зниженням на 20%.

2)    900 грн – це ціна після зниження початкової ціни на 25%, тобто 900грн – це 75%  початкової ціни.  900 : 0,75 = 1200(грн.)

ІІспосіб

Нехай , початкова ціна телят х грн.

1)    х – 0,25х = 0,75х(грн.) - ціна телят після зниження на 25%;

2)    0,75х – 0,2  0,75х = 0,6х(грн) – остаточна ціна телят;

3)    0,6х = 720, звідки х = 1200(грн)

Відповідь: 1200грн.

Задача 9. Маємо  два  сплави міді  і  цинку. Перший  сплав  містить  9%,  а  другий  - 30%  цинку.  Скільки треба  взяти  кілограмів  першого  сплаву  і  скільки  кілограмів  другого,  щоб  отримати  сплав   масою  300 кг,  що  містить  23 %  цинку?

Розв’язання

Нехай першого сплаву треба взяти х кг, то другого  – (300 – х)кг.

В х кг першого сплаву міститься 0,09х кг цинку, а в (300 – х)кг другого сплаву міститься 0,3  (300 – х)кг цинку.  У новому сплаві матимемо 0,23  300 = 69( кг) цинку.

Розв’яжемо рівняння.

0,09 х + 0,3  (300 – х) = 69;

0,09 х+90 – 0,3х = 69;

0,21х = 21;

х = 100.

Отже, потрібно взяти 100 кг 9%-го  сплаву і 300 – 100 = 200(кг) 30%-го  сплаву.

Відповідь:  100кг і 200 кг.

  Відсотки в задачах на суміші і сплави

 Такі задачі учні , як правило , розв’язують погано. Після пояснення способів розв'язання таких задач доцільно розв’язати аналогічні завдання як індивідуально, так і колективно.

Для розв’язування задач на суміші та сплави, на концентрації потрібно вміти міркувати і розвязувати задачі  на дроби і відсотки арифметично та за допомогою рівнянь і їх систем. У даних задачах  припускатимемо, що в результаті перемішування  виходить однорідна маса. Це означає, що характеристика суміші, що цікавить нас, однакова для будь-якої частини суміші. Однією з найбільш поширених характеристик суміші є концентрація конкретної  її складової, тобто відношення кількості цієї складової до загальної кількості суміші. При підрахунку концентрації вказані кількості можуть вимірюватися як їх масою, так і об'ємом. У наведених  задачах  скрізь, де виникатимуть в цьому питанні неоднозначності, братимемо для визначеності масові концентрації. На практиці концентрації прийнято виражати у відсотках. Вміст якого-небудь дорогоцінного металу в сплаві з домішками зазвичай називають пробою і позначають числом тисячних частин одиниці. Наприклад, кажучи про золото 573-ої проби, мають  на увазі, що в кожних 1000 г такого « золота»  міститься тільки 573 г чистого золота. Золото і срібло, що використовуєтьсяється в побуті, ніколи не буває без домішок  інших металів. Ця домішка з інших металів (найчастіше  мідь) називається лігатурою. Проба золота або срібла показує відношення маси чистого золота або срібла до маси всього сплаву. Це відношення зазвичай виражається в тисячних долях. Наприклад, проба золота 850 показує, що на 1000 вагових частин сплаву доводиться 850 таких же частин чистого золота, тобто 0,850 маси всього сплаву.

Задача 1

 Для технічних потреб змішали 10 кг 50-відсоткового  розчину солі з 5 кг 80- відсоткового  розчину солі. Визначити концентрацію суміші.

Роз'вязання

 1)  10 кг  · 0,5 = 5 кг  - солі міститься в 10кг 50%-го розчину солі;

2)  5 кг  · 0,8 = 4кг- солі міститься в 5 кг 805-го розчину солі;

3) 10 кг + 5 кг = 15 кг- суміші отримано;

4) 5 кг + 4 кг = 9 кг- солі у всій суміші;

5) 9 кг : 15 кг · 100%   = 60 (%) - концентрація суміші.             Відповідь: 60%.

Задача 2

 Скільки треба додати 50%-ої сірчаної кислоти до 27 кг 5% -ої сірчаної кислоти, щоб отримати 20%-ву кислоту?

Розв’язання

Необхідну кількість сірчаної кислоти позначимо через х кг, тоді чистої кислоти в ній буде  (0,5х)кг. А чистої кислоти в 27 кг 5%-ої кислоти буде 27 кг · 0,05  =  1,35кг. Загальна маса всієї суміші  – (х + 27) кг, а чистої кислоти в загальній суміші буде 0,5х кг + 1,35 кг. Складемо рівняння: 

 (0,5х +1,35) : (х + 27) + 0,2 ;      х = 13,5

Відповідь: 13,5 кг

Задача3

Якої  концентрації потрібно узяти  соляну кислоту, щоб  змішавши 20 кг її з 60 кг 38%-ої концентрації, отримати суміш 40%-ої концентрації?

Розв’язання
1) 60 + 20 =80 (кг) –  маса утвореної суміші;
2) 0,4 • 80 =32 (кг) – соляної кислоти у суміші;
3) 0,38• 60 = 22,8 (кг) – соляної кислоти у 60 кг 38% - ої  концентрації;
4) 32 – 22, 8 = 9,8 (кг) – соляної кислоти  у 20 кг кислоти невідомої концентрації;
5) 9,8 : 20 • 100 = 49 (%) шукана концентрація кислоти.
Відповідь:  49 %

Задача 4

Сплавили два злитки срібла: 700 г  800 - ої проби, 500 г  560-ої проби, 900 г міді. Якої проби вийде сплав?

Розв'язання

1)    Обчислимо, скільки чистого срібла міститься в 700 г 800-ої проби: 

2)    Знайдемо, скільки чистого срібла міститься в 500 г 560-ої проби: 

3)    Визначимо, стільки чистого срібла міститься в двох  злитках:
 560 г + 280 г = 840 г, тоді  маса сплавудорівнює: 760 г + 500 г + 900 г = 2100 г.

4)    Обчислимо пробу сплаву:   - проба сплаву.

    Відповідь: 400 .

Задача 5

  У яких пропорціях потрібно змішати розчин 50%-ої і розчин 70% - ої кислоти, щоб отримати розчин 65% - кислоти?

Розв'язання

Нехай  змішуємо х г 50%-го розчину  і  у г 70%-го розчину кислоти. Тоді в першому розчині міститься чистої кислоти  0,5х г, а в другому   0,7у г. У отриманій суміші масою (х + у) г міститиметься   0,5х +0,7у  г чистої кислоти, що повинне складати 65 % від суміші, тобто   0,65 (х + у)  . Таким чином, отримуємо рівняння: 0,5х +0,7у = 0,65 (х + у),     

звідки маємо:

 5у = 15х і знаходимо шукане відношення х : у = 5 : 15 = 1 : 3. Це означає, що змішувати треба 1 частину першого розчину з 3 частинами другого.

Відповідь: 1 : 3.

Задача 6 .    У трьох посудинах міститься по 100 г розчинів кислоти: у першому70% - ої,в другому 60%-ої, в третьому 30%-ої. Змішуючи ці розчини, потрібно отримати 250 г розчину кислоти. Яку найбільшу і найменшу концентрацію може мати отриманий розчин? Як отримати 250 г  55%-ої кислоти?

Розв'язання

Для отримання розчину найбільшої концентрації потрібно змішати найбільш концентровані  розчини кислоти, а саме: 100 г  70%-ої, 100 г 60%- ої  і 50 г 30%-ої.  У 250 г  отриманого розчину міститиметься 70 + 60 + 15 = 145 г чистої кислоти, що складає   (145 : 250) * 100 = 58 (%). Аналогічно для отримання розчину найменшої концентрації потрібно змішати 100 г 30%-ої, 100 г 60%-ої і 50 г 70%-ої кислоти. В результаті цього утворюється 250 г розчину, що містить 30 + 60 + 35 = 125 г чистої кислоти, що становить  ( 125:250) * 100 = 50 (%).

Нехай  змішали х г першого розчину, у г другого і z г третього. Тоді 250 г 55%-го розчину могло вийти тільки у разі виконання рівності: х + у + z = 250   i 0,7х + 0,6у + 0,3z = 0,55*250.

Дана система має безліч розвязків, що задовольняють нерівності:  

0≤ у ≤ 100, 0 ≤ z ≤ 100, 0 ≤ х ≤ 100.

 Після нескладних перетворень цієї системи маємо рівносильну систему:

  х = 3z - 25 і у = 375 - 4z,      

у якій величину z можна вважати параметром, що задовольняє нерівності      

125 /3 ≤ z ≤ 375/4

Наприклад, значення z = 75 задає значення х = 100, у = 75, тобто для отримання 250 г  55%-го розчину можна узяти 100 г першого розчину і по 75 г другого і третього.

Задача 7

Змішали 2 л 60%-ного розчину солі з 3 л 50%-ного розчину солі і до суміші додали  1 л чистої води. Яка концентрація солі в отриманій суміші?

Розв'язання  Оскільки розчини змішуються, то відповідні маси додаються. Знаходимо масу солі в першому розчині: 0,6 · 2 = 1,2. Потім – масу солі в другому розчині: 0,5 · 3 = 1,5.  Маса солі для кінцевого розчину дорівнює 1,2 + 1,5 + 0 = 2,7, а загальна маса розчину : 2 + 3 + 1 = 6.

Складаємо схему:

 6   –   100 %;

 2,7  –     х  %,

 Шукана концентрація знаходиться з відповідної пропорції : х = 45 %.

Відповідь: 45 %.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.     О.С. Істер . Математика: Підручник для 5 класу загальноосвітніх навчальних закладів –  К.: Генеза, 2013

2.     О.С. Істер . Математика: Підручник для 5 класу загальноосвітніх навчальних закладів –  К.: Генеза, 2014

3.     Ю. О. Захарійченко. Повний курс математики в тестах – Харків: Ранок, 2016

4.     М.І. Сканаві.Збірник задач з математики для вступників до втузів: К.: Вища школа, 1992

5.     tkachenkoevgeniy.blogspot.com

6.     mathab.com.ua

7.     matematika58.webnode.com.ua

8.     school.home-task.com